Cho tam giác ABC và M là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt tiếp tuyên tại điểm C của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại D.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của tia Am với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC. Chứng minh KD // BC
c) Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC. Chứng minh M,A,E thẳng hàng
a) (Ta sẽ dùng phương pháp chồng hình, còn gọi là chứng minh bằng trùng hình.)
Vẽ tia \(AD'\) thỏa mãn \(\widehat{BAD'}=\widehat{MAC}\) và \(D'\) nằm trên \(\left(O\right)\).
Khi đó, \(\widehat{D'BC}=\widehat{D'AC}=\widehat{BAM}\) và ta suy ra \(D'B\) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp \(ABM\).
Tương tự, \(D'C\) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp \(ACM\) và ta suy ra \(D=D'\).
Vậy \(ABDC\) nội tiếp.
b) Hiển nhiên do \(\widehat{BAD}=\widehat{KAC}\).
c) (Vẫn chồng hình) Gọi \(E'\) đối xứng với \(K\) qua \(M\) suy ra \(E'BKC\) là hình bình hành.
Từ đó có \(E'B=KC=DB\) hay tam giác \(E'BD\) cân tại \(B\).
Mặt khác CM được \(BC\) là phân giác \(\widehat{E'BD}\) nên ta được \(E'\) đối xứng với \(D\) qua \(BC\).
Vậy \(E=E'\) hay \(A,E,M\) thẳng hàng.
-----
(P/S: Nếu để ý sẽ thấy tia \(AD'\) và \(AM\) thỏa tc góc ở trên sẽ đối xứng nhau qua đường phân giác \(\widehat{BAC}\). Vì thế tia \(AD'\) gọi là đường "đối trung" của tam giác \(ABC\) (ĐỐI XỨNG của TRUNG TUYẾN qua phân giác). Đường này mà cho lớp 9 toán thường thì hơi khó đó.)
