Kẻ \(AE\perp CD\), nối BE.
Ta có: \(\widehat{AEC}=90^0;\widehat{ACD}=45^0\)nên \(\Delta AEC\)vuông cân tại E.
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=45^0\)
Mà \(\widehat{EAC}+\widehat{DAE}=\widehat{BAC}\)
Thay số: \(45^0+\widehat{DAE}=75^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=75^0-45^0=30^0\)
\(\Delta ADE\)vuông tại E có \(\widehat{DAE}=30^0\)nên \(DE=\frac{1}{2}AD\)(tính chất cạnh đối diện với góc 300 trong tam giác vuông) (3)
\(\Delta ABC\)có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)
Thay số: \(75^0+45^0+\widehat{C}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{C}=180^0-75^0-45^0=60^0\)
Ta có: \(\widehat{ACE}+\widehat{ECB}=\widehat{ACB}\)
Thay số: \(45^0+\widehat{ECB}=60^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ECB}=60^0-45^0=15^0\)
*Ta sẽ tính góc ABE bằng phản chứng.
Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=45^0\left(=\widehat{B}\right)\)
+) Nếu \(\widehat{ABE}< 30^0\)thì \(\widehat{EBC}>15^0\Rightarrow BE< EC\Rightarrow BE< BA\)(vô lí)
+) Nếu \(\widehat{ABE}>30^0\)thì \(\widehat{EBC}< 15^0\Rightarrow BE>EC\Rightarrow BE>BA\)(vô lí)
Vậy \(\widehat{ABE}=30^0\left(1\right)\Rightarrow\widehat{EBC}=15^0\)
\(\Delta EBC\)có \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=15^0\)nên \(\Delta EBC\)cân tại E\(\Rightarrow\widehat{BEC}=180^0-2.15^0=150^0\)
Mà ta có: \(\widehat{BEC}+\widehat{BED}=180^0\)(kề bù) nên \(\widehat{BED}=180^0-150^0=30^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác BDE cân tại D \(\Rightarrow BD=DE\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra DA = 2DB (đpcm)
