Đối với điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R), kí hiệu dA là đường thẳng nối 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ A tới (O).
Đối với điểm A nằm bên trong đường tròn, kí hiệu dA để chỉ đường thẳng vuông góc với OA tại T với T là điểm mà \(OA.OT=R^2\) và A nằm giữa O và T.
Để giải được bài toán này, ta cần xét tính chất sau của đường dA:
TC1: \(A\in d_B\Leftrightarrow B\in d_A\), tính chất này là hiển nhiên theo định nghĩa đường dA.
TC2: A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi dA, dB, dC đồng quy hoặc đôi một song song.
CM: Nếu \(O\in AB\) thì hiển nhiên TC2 đúng.
Nếu \(O\notin AB\) thì gọi P là giao điểm của dA, dB. Vì \(P\in d_A,P\in d_B\) nên theo TC1, \(A\in d_P,B\in d_P\) nên \(AB\equiv d_P\). Do đó A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(C\in d_P\), có nghĩa là \(P\in d_C\) hay dA, dB, dC đồng quy tại P, TC2 được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ xét bổ đề sau:
Bổ đề: Cho tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp. K là trực tâm của tam giác IBC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó \(MN\equiv d_K\) (đối với đường tròn I)
CM: Gọi D, E lần lượt là tiếp điểm của (I) với BC, CA. DE cắt BI, CI, KC lần lượt tại L, J, T. Theo tính chất quen thuộc thì \(\widehat{BLA}=90^o\), suy ra \(ML=MA=MB\). Từ đó \(\widehat{MLB}=\widehat{MBL}=\widehat{LBC}\), suy ra ML//BC hay \(L\in MN\).
Mặt khác, vì \(\widehat{LTC}=\widehat{LJC}=90^o\) nên tứ giác CJLT nội tiếp \(\Rightarrow IL.IT=IJ.IC=r^2\) (\(r\) là bán kính đường tròn (I)), theo định nghĩa đường \(d_X\) , suy ra được \(KC\equiv d_L\). Từ đó suy ra \(K\in d_L\). Theo TC1 suy ra \(L\in d_K\). Mà \(L\in MN,MN\perp IK\) nên theo định nghĩa đường \(d_X\), suy ra \(MN\equiv d_K\). Vậy bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta sẽ quay lại bài toán chính:
Từ kết quả của bổ đề, ta suy ra \(MN\equiv d_K,MP\equiv d_H\)
Mặt khác, theo định nghĩa, ta có \(DM\equiv d_D\).
Để ý rằng MN, MP, MD đồng quy tại M nên theo TC2, suy ra H, K, I thẳng hàng. Suy ra đpcm.
Ở chỗ cuối phải là \(MN\equiv d_H,MP\equiv d_K\) chứ không phải ngược lại đâu. (bổ sung thêm M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB)
https://olm.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-co-duong-tron-bang-tiep-goc-a-tiep-xuc-voi-bc-tai-d-chung-minh-rang-duong-tron-bang-tiep-goc-a-cua-hai-tam-giac-abd-acd-tiep-xuc-vo.8280714750453
Ủa nma đề mình là H, K là trực tâm ạ ...
Thì đúng rồi đó bạn. H, K là trực tâm AIB, AIC.
