Lời giải:
a)
Do $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ cân. Do đó: \(\angle ABC=\angle ACB\Leftrightarrow \angle EBC=\angle DCB\) (1)
\(\Rightarrow 90^0-\angle EBC=90^0-\angle DCB\)
\(\Leftrightarrow \angle ECB=\angle DBC\) (2)
Xét tam giác $EBC$ và tam giác $DCB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle EBC=\angle DCB(\text{ theo (1)})\\ \angle ECB=\angle DBC(\text{ theo (2))}\\ BC-\text{chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle EBC=\triangle DCB(g.c.g)\Rightarrow EC=DB\) (*)
b) Theo phần a \(\angle ECB=\angle DBC\Leftrightarrow \angle ICB=\angle IBC\)
Do đó tam giác $IBC$ cân tại $I$
\(\Rightarrow IB=IC\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(EC-IC=DB-IB\Leftrightarrow EI=DI\)
c)
Kéo dài $AI$ cắt BC tại $H'$
Vì $I$ là giao điểm của đường cao $BD,CE$ nên $AH'$ cũng là đường cao của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow AH'\perp BC\)
Ta có: \(\angle ABH'=90^0-\angle BAH'; \angle ACH'=90^0-\angle CAH'\)
Mà \(\angle ABH'=\angle ACH'\Rightarrow \angle BAH'=\angle CAH'\)
Xét tam giác $ABH'$ và tam giác $ACH'$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle BAH'=\angle CAH'\\ \angle AH'B=\angle AH'C\\ AH'-\text{ chung}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle ABH'=\triangle ACH'(g.c.g)\Rightarrow BH'=CH'\)
Do đó $H'$ là trung điểm của $BC$ hay $H'$ trùng $H$
Từ đó suy ra \(A,I,H\) thẳng hàng.
