Question

Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BD và CE . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Gọi I, K là theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. CMR:
1) EDCB là hình thang
2) I là trung điểm của BD và K là trung điểm của CE
3) MI=IK=KN

Answer 1

1)\(\Delta\)ABC có E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC nên ED là đường trung bình của tam giác => ED//BC

Tứ giác EDCB có ED//BC nên là hình thang (đpcm)

2) Hình thang EDCB có M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD nên MN là đường trung bình của hình thang => MN // ED hay \(\hept{\begin{cases}NK//ED\\MI//ED\end{cases}}\)

\(\Delta\)BED có M là trung điểm của BE và MI//ED nên I là trung điểm của BD

Tương tự ta suy ra được K là trung điểm của CE

c) Ta có: IK = IN  - KN = 1/₂BC - 1/₂ED = \(\frac{BC-ED}{2}=\frac{BC-\frac{BC}{2}}{2}=\frac{\frac{BC}{2}}{2}=\frac{BC}{4}\)

\(KN=MI=\frac{ED}{2}=\frac{\frac{BC}{2}}{2}=\frac{BC}{4}\)

Từ đó suy ra MI = IK = KN (đpcm)