Question

Cho tam giác ABC cân tại A ( góc A < 90độ ). Kẻ BD \(\perp\) AC ; \(CE\perp AB\); BD và CE cắt nhau tại I.

a, C/minh: BD = CE

b, Tam giác IBC là tam giác gì?

c, C/minh: AI vuông góc BC

d, Cho BC = 5cm ; CD = 3cm. Tính độ dài EC và AB.

Answer 1

 Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB=AC (đ/n) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Xét ​\(\Delta EBC\)​  và ​\(\Delta DCB\)​  có : 

\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

BC chung

\(\widehat{BEC}=\widehat{CDB}\) (=90^o)

=> \(\Delta EBC\)=\(\Delta DCB\)(cgv-gnk)

=> BD=CE( cctư) (đpcm)

b) Vì \(\Delta EBC\)=\(\Delta DCB\)nên \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cgtư)

Xét\(\Delta IBC\)Có :\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)=> \(\Delta IBC\)cân=> IB=IC(đ/n)

c) Gọi giao điểm của AI và BC là O

Vì \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) và  \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) nên \(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

Xét  ​\(\Delta ABI\)​  và ​\(\Delta ACI\)​  có : 

AB=AC

\(\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\)

IB=IC

=> \(\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cgtư\right)\)

Xét  ​\(\Delta ABO\)​  và ​\(\Delta ACO\)​  có : 

AB=AC

\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}\)

\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)

=> \(\Delta ABO=\Delta ACO\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\left(cgtư\right)\)

mà \(\widehat{BOA}+\widehat{COA}=180^o\)

=> \(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\left(=90^o\right)\)

hay AI\(\perp\)BC (đpcm)