Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A bằng 40 độ. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A và B); kẻ DE song song với BC cắt AC tại E.
a) So sánh các cạnh của tam giác ABC
b) Chứng minh BE = CD
c) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = DE. Tam giác BEK là tam giác gì?
d) Gọi I là giao điểm của BE và CD, chứng minh AI đi qua trung điểm của BC
e) Giả sử BD = DE = EK. Tính góc BIC
a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)(số đo của các góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
hay \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=\frac{180^0-40^0}{2}\\\widehat{ACB}=\frac{180^0-40^0}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABC}=70^0\\\widehat{ACB}=70^0\end{matrix}\right.\)
Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}>\widehat{BAC}\left(70^0=70^0>40^0\right)\)
mà cạnh đối diện với \(\widehat{ABC}\) là AC
và cạnh đối diện với \(\widehat{ACB}\) là AB
và cạnh đối diện với \(\widehat{BAC}\) là BC
nên AC=AB>BC
b) Ta có: DE//BC(gt)
⇒\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)(hai góc đồng vị)(1)
Ta có: DE//BC(gt)
⇒\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị)(2)
Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
⇒\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy)(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
Xét ΔADE có \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)(cmt)
nên ΔADE cân tại A(định lí đảo của tam giác cân)
⇒AD=AE
Ta có: AD+DB=AB(D nằm giữa A và B)
AE+EC=AC(E nằm giữa A và C)
mà AD=AE(cmt)
và AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên DB=EC
Xét ΔDBC và ΔECB có
DB=EC(cmt)
\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(cmt)
BC chung
Do đó: ΔDBC=ΔECB(c-g-c)
⇒CD=BE(hai cạnh tương ứng)
c) Xét ΔDEC và ΔECK có
ED=CK(gt)
\(\widehat{DEC}=\widehat{ECK}\)(hai góc so le trong, DE//CK)
EC chung
Do đó: ΔDEC=ΔECK(c-g-c)
⇒DC=EK(hai cạnh tương ứng)
mà BE=CD(cmt)
nên EB=EK
Xét ΔEBK có EB=EK(cmt)
nên ΔEBK cân tại E(định nghĩa tam giác cân)
d) Xét ΔAEB và ΔADC có
AE=AD(cmt)
\(\widehat{A}\) chung
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔAEB=ΔADC(c-g-c)
⇒\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABE}+\widehat{CBE}=\widehat{ABC}\)(tia BE nằm giữa hai tia BA,BC)
\(\widehat{ACD}+\widehat{BCD}=\widehat{ACB}\)(tia CD nằm giữa hai tia CA,CB)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(cmt)
và \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)(cmt)
nên \(\widehat{CBE}=\widehat{DCB}\)
hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định lí đảo của tam giác cân)
⇒IB=IC(hai cạnh tương ứng)
hay I nằm trên đường trung trực của BC(định lí đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(định lí đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Từ (4) và (5) suy ra AI là đường trung trực của BC
hay AI đi qua trung điểm của BC(đpcm)
d/ Chứng minh: BE FC
