ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)
Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên
=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương
Gọi UCLN của k và k-p là d
=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)
=> \(p⋮d\)
Mà p là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)
+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)
=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương
=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương
Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp
=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)
+\(d=1\)
=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)
=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)
=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ
Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)
\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)
Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p nhé!
vâng,em cảm ơn , Em không để ý đề bài cho là nguyên dương
Xét p = 2 ta có:
\(\sqrt{k^2-pk}=\sqrt{k^2-2k}=\sqrt{\left(k-1\right)^2-1}\)
Do \(\left(k-1\right)^2-1\) không thể là số chính phương nên \(\sqrt{k^2-pk}\) không là số nguyên dương
Xét p \(\ge\)3 ta xét 2 trường hợp
Trương hợp 1:k chia hết cho p
Đặt \(k=np\left(n\inℕ^∗\right)\)
Khi đó \(k^2-pk=n^2p^2-p^2n=p^2n\left(n-1\right)\)
Do \(n\left(n-1\right)\) không là số chính phương nên ta loại trường hợp này
Trường hợp 2: k không chia hết cho p
Do k không chia hết cho p nên ( k;p ) = 1 => ( k;k-p ) = 1
Do đó \(k^2-pk=k\left(k-p\right)\) là số chính phương khi và chỉ khi k;k-p đều là số chính phương
Đặt \(k=m^2;k-p=n^2\left(m,n\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow p=m^2-n^2=\left(m-n\right)\left(m+n\right)\)
Mà p là số nguyên tố nên \(m-n=1;m+n=p\)
\(\Rightarrow m=\frac{p+1}{2}\Rightarrow k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^2\) ( thỏa mãn )
Vậy \(k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^2\)
