M là trung điểm của AB
=>\(MA=MB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)
ΔAMD vuông tại A
=>\(AM^2+AD^2=MD^2\)
=>\(MD=\sqrt{a^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
=>\(\left|\overrightarrow{MD}\right|=MD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
Xét ΔAMD vuông tại A có \(cosAMD=\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{a}{2}:\dfrac{a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{2}{a\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(cosMDC=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
mà \(\widehat{MDC}+\widehat{MDN}=180^0\)
nên \(cosMDN=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
D là trung điểm của NC nên ND=DC=a
Xét ΔDNM có \(cosMDN=\dfrac{DM^2+DN^2-MN^2}{2\cdot DM\cdot DN}\)
=>\(\dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2+a^2-MN^2}{2\cdot\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\cdot a}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{\dfrac{5a^2}{4}+a^2-MN^2}{a^2\cdot\sqrt{5}}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
=>\(\dfrac{9}{4}a^2-MN^2=-a^2\)
=>\(MN^2=\dfrac{9}{4}a^2+a^2=\dfrac{13}{4}a^2\)
=>\(MN=\sqrt{\dfrac{13}{4}a^2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)
=>\(\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)
