Question

Cho hình thoi ABCD có A=120 độ. Tia Ax tạo với tia AB. Góc ABx = 15 độ và cắt BC tại M, CD tại N

CM 1/AM^ + 1/AN^2 = 4/3AB^2

Answer 1

Trên CD lấy N sao cho góc DAF=15 độ.

Kẻ AE vuông góc với CD tại E.

Tam giác ABM=Tam giác ADF (g.c.g), suy ra AM=AF.

Tam giác AED vuông tại E có \(AD=AE\cdot sinD=\frac{\sqrt{3}}{2}AD\Rightarrow AE^2=\frac{3}{4}AB^2\)

Tam giác ANF có góc ANF=góc BAD-góc BAM-góc DAF=120 độ- 15 độ- 15 độ =90 độ. Suy ra tam giác NAF vuông tại A.

\(\Rightarrow\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AE^2}\)

hay \(\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{4}{3AB^2}\)