Cho hình tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), trên tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AM=MD\) . Gọi \(I\) và \(K\) lần là chân đường vuông góc hạ từ \(B\) và \(C\) xuống \(AD\) , \(N\) là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AC\) .
a, \(CMR;BK=CI\) và BK//CI
b, \(CMR;KN\) bé hơn \(MC\)
c, Tam giác \(ABC\) thỏa mãn thêm \(ĐK\)gì để \(AI=IM=MK=KD\)
d, Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) xuống \(BC\) , Chứng minh các đt \(MI,DH,MN\) đồng quy
Giúp mình với
a) Xét \(\Delta\)BIM & \(\Delta\)CKM:
^BIM=^CKM=900
BM=CM => \(\Delta\)BIM=\(\Delta\)CKM (Cạnh huyền góc nhọn)
^BMI=^CMK
=> IM=KM (2 cạnh tương ứng).
Xét \(\Delta\)IMC & \(\Delta\)KMB:
MC=MB
^IMC=^KMB => \(\Delta\)IMC=\(\Delta\)KMB (c.g.c)
IM=KM
=> CI=BK (2 cạnh tương ứng) & ^MIC=^MKB (2 góc tương ứng) => BK//CI (So le trong)
b) Xét tam giác ABC: M là trung điểm của BC => AM=BM=CM (T/c đg trung tuyến của tg vuông)
=> \(\Delta\)AMC cân tại M. Mà MN vuông góc với AC => MN là trung tuyến của tam giác AMC
=> N là trung điểm của AC.
Xét \(\Delta\)AKC: ^AKC=900 và N là trung điểm của AC => KN=CN=AN
=> Xét tam giác ANM: ^N=900 => AM>AN. Mà AN=KN =>KN<AM.
Lại có: AM=CM (cmt) => KN<CM (đpcm)
c)
Để AI=IM=MK=KD thì I và K phải lần lượt là trung điểm của AM và MD (Do AM=MD)
Ta có: BI là đường cao của tam giác ABM.
I là trung điểm của AM <=> Tam giác ABM cân tại B => AB=BM. Mà AM=BM=CM 9cmt)
=> AB=BM=AM => \(\Delta\)ABM đều => BI đồng thời là trung tuyến => AI=IM (1)
=> ^AMB=^DMC=600 (Đối đỉnh)
Mà AM=MD=BM=MC => \(\Delta\)DMC đều => CK đồng thời là đường trung tuyến của tam giác DMC
=> MK=KD (2). Cũng có: AM=MD (3)
Từ (1); (2) và (3) => AI=IM=MK=KD.
Vậy để AI=IM=MK=KD thì \(\Delta\)ABM đều => ^ABC=600.
d) Đề sai...
