Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Anh

Cho hình chữ nhật ABCD ; AH vuông góc với BD tại H . Gọi I ; M lần lượt là trung điểm BH ; CD .Vẽ IK vuông góc AM tại K . CMR

a) \(IM ^2 + IA ^2 = BC ^2 + 1/4 CD^2\)

b) \(\frac{1}{IK^2}=\frac{1}{IA^2}+\frac{1}{IM^2}\)

Vũ Huy Hoàng
7 tháng 7 2019 lúc 16:59

a) Vẽ MN, CP vuông góc với BD.

Cần chứng minh:

\(IM^2+IA^2=BC^2+\frac{CD^2}{4}=AD^2+DM^2=AM^2\)

ΔBAH = ΔDCP(g.c.g) ⇒ AH = CP

MN là đường trung bình của tam giác DCP ⇒ \(MN=\frac{CP}{2}=\frac{AH}{2}\)

Dễ chứng minh ΔBAH~ΔDMN(g.g) ⇒ \(DN=\frac{BH}{2}\)

Ta có:

\(IN=IH-HN=\frac{BH}{2}-\left(DN-DH\right)=\frac{BH}{2}-\frac{BH}{2}+DH=DH\)

Do đó: \(IM^2+IA^2=AH^2+IH^2+IN^2+MN^2\)

\(=AH^2+\frac{BH^2}{4}+DH^2+\frac{AH^2}{4}=BC^2+\frac{CD^2}{4}\)\(=AM^2\) (đpcm)

(Áp dụng định lý Pytago đảo)

b) Từ phần a suy ra tam giác AIM vuông tại I

Do đó dễ chứng minh \(\frac{IK^2}{IA^2}+\frac{IK^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{AM^2}+\frac{IA^2}{IM^2}=\frac{IM^2}{IM^2}=1\)

Suy ra đpcm


Các câu hỏi tương tự
Vũ Anh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết
lê thuận
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Mai
Xem chi tiết
Thanh Thảoo
Xem chi tiết
Nguyệt Trần
Xem chi tiết
Curry
Xem chi tiết