Kẻ \(AP\perp SB\Rightarrow AP\perp\left(SBC\right)\Rightarrow P\in\left(\beta\right)\)
Kéo dài AE cắt BC tại F, nối \(PF\) cắt SC tại Q \(\Rightarrow APQE\) là thiết diện của \(\left(\beta\right)\) và chóp
\(\left\{{}\begin{matrix}CE//AB\\CE=\frac{1}{2}AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CE\) là đtb \(\Delta ABF\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BF=2BC=2a\\AF=2AE=a\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Do \(\Delta SAB\) vuông cân \(\Rightarrow P\) là trung điểm SB và \(AP=\frac{SB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow PF=\sqrt{AF^2-AP^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\)
P là trung điểm SB, C là trung điểm BF \(\Rightarrow Q\) là trọng tâm \(\Delta SBF\Rightarrow QF=\frac{2}{3}PF\)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E xuống PF \(EH//AP\Rightarrow EH=\frac{1}{2}AP\) (tính chất đường trung bình)
\(\Rightarrow\frac{S_{QEF}}{S_{APF}}=\frac{EH.QF}{AP.PF}=\frac{\frac{1}{2}AP.\frac{2}{3}PF}{AP.PF}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow S_{APQE}=\frac{2}{3}S_{APF}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.AP.PF=\frac{1}{2}a^2\)
