Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA \(\perp\)(ABCD)

1. CMR các mặt bên của hình chóp là tam giác vuông

2. CMR BD\(\perp\)(SAC); SD\(\perp\)AB

3. Gọi M là trung điểm SC. CMR MO\(\perp\)(ABCD), M cách đều tất cả các điểm S, A, B, C, D

4. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của SB và SD. CMR IJ\(\perp\)(SAC), SA\(\perp\)(MIJ)

Answer 1

a/\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AB\Rightarrow\Delta SAB\) vuông tại A

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\Rightarrow\Delta SAD\) vuông tại A

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\)

Mà \(CD\perp AD\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\Rightarrow CD\perp SD\Rightarrow\Delta SCD\) vuông tại D

Tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AB\\BC\perp SA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SB\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}BD\in\left(ABCD\right)\\SA\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp SA\)

Lại có \(BD\perp AC\) (t/c hình vuông)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp SA\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp SD\)

c/ Ta có O là trung điểm AC; M là trung điểm SC \(\Rightarrow MO\) là đường trung bình trong \(\Delta SAC\)

\(\Rightarrow MO//SA\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow MO\perp\left(ABCD\right)\)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có \(BM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{2}SC=MS=MC\)

Tương tự, trong tam giác vuông \(SCD\) có \(DM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}SC=MS=MC\)

Lại có \(SA\perp AC\) (do \(SA\perp\left(ABCD\right)\)) \(\Rightarrow\Delta SAC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\) trong tam giác vuông SAC có AM là trung tuyến

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SC\)

\(\Rightarrow MA=MB=MC=MD=MS\)

d/

Do I là trung điểm SB, J là trung điểm SD \(\Rightarrow IJ\) là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow IJ//BD\)

Mà \(BD\perp\left(SAC\right)\) (cmt câu b) \(\Rightarrow IJ\perp\left(SAC\right)\)

Trong \(\Delta SCD\) có IM là đường trung bình \(\Rightarrow IM//CD\Rightarrow IM//\left(ABCD\right)\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}IJ//BD\left(cmt\right)\\BD\in\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IJ//\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(MIJ\right)//\left(ABCD\right)\)

Mà \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp\left(MIJ\right)\)