Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a$ $\left( a>0 \right)$, đường cao $SO=a\sqrt{6}$ ( với $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$).
a) Chứng minh rằng $BD\bot \left( SAC \right)$.
b) Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$.
c) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$.
Vì đáy ABCDABCD là hình vuông nên BD⊥ACBD⊥AC.
BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO= O nên BD⊥(SAC)BD⊥(SAC).
Gọi EE là trung điểm BCBC.
Hình chóp S.ABCDS.ABCD đều nên cạnh bên SB=SCSB=SC.
Do đó tam giác SBCSBC cân tại SS nên trung tuyến SE⊥BCSE⊥BC.
Tứ giác ABCDABCD là hình vuông nên AC=BD⇒OB=OCAC=BD⇒OB=OC.
Do đó tam giác OBCOBC cân tại O⇒O⇒trung tuyến OE⊥BCOE⊥BC.
Ta có (SBC)∩(ABCD)=BC(SBC)∩(ABCD)=BC; trong (SBC)(SBC) có SE⊥BCSE⊥BC; trong (ABCD)(ABCD) có OE⊥BCOE⊥BC.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE.
Tam giác SOESOE vuông tại OO ( do SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD)) nên góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE là ˆSEOSEO^.
Tam giác OBCOBC vuông tại OO ( do AC⊥BDAC⊥BD) nên trung tuyến OE=BC2=2a2=aOE=BC2=2a2=a.
Vậy tan(ˆ(SBC),(ABCD))=tan(ˆSE,OE)=tanˆSEO=SOOE=a√6a=√6tan((SBC),(ABCD)^)=tan(SE,OE^)=tanSEO^=SOOE=a6a=6.
a) Vì S.ABCD là hình chóp đều \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)=O\)
\(\Rightarrow SO\perp BD\)
Mà \(BD\perp AC\) (ABCD là hình vuông)
\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
b) Gọi I là trung điểm BC \(\Rightarrow OI\perp BC\)
Mà \(SO\perp BC\Rightarrow BC\perp\left(SOI\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{\left(\left(SBC\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SOI}=\alpha}\)
Vậy \(tan\alpha=\dfrac{SO}{OI}=\dfrac{a\sqrt{6}}{\dfrac{a}{2}}=2\sqrt{6}\)
c) Vì \(AB\perp SC\)
\(\Rightarrow AB//\left(SDC\right)\)
\(\Rightarrow d\left(AB,SC\right)=d\left(A,\left(SDC\right)\right)=\dfrac{AC}{OC}.d\left(O,\left(SDC\right)\right)=2.d\left(O,\left(SDC\right)\right)\)
Gọi M là trung điểm DC.
CMTT như câu b\(\Rightarrow DC\perp\left(SOM\right)\)
Kẻ \(\left\{{}\begin{matrix}OH\perp SM\\OH\perp DC\end{matrix}\right.\Rightarrow OH\perp\left(SDC\right)\)
Ta có: Trong \(\Delta SOM\) có: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2}+\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{1}{6a^2}+\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{4}}\)
\(\Rightarrow OH=\dfrac{\sqrt{42}}{7}a\)
\(\Rightarrow d\left(AB,SC\right)=2OH=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}a\)
a) Vì đáy ABCDABCD là hình vuông nên BD⊥ACBD⊥AC.
Do ⎧⎨⎩BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O{BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O nên BD⊥(SAC)BD⊥(SAC).
b) Gọi EE là trung điểm BCBC.
Hình chóp S.ABCDS.ABCD đều nên cạnh bên SB=SCSB=SC.
Do đó tam giác SBCSBC cân tại SS nên trung tuyến SE⊥BCSE⊥BC.
Tứ giác ABCDABCD là hình vuông nên AC=BD⇒OB=OCAC=BD⇒OB=OC.
Do đó tam giác OBCOBC cân tại O⇒O⇒trung tuyến OE⊥BCOE⊥BC.
Ta có (SBC)∩(ABCD)=BC(SBC)∩(ABCD)=BC; trong (SBC)(SBC) có SE⊥BCSE⊥BC; trong (ABCD)(ABCD) có OE⊥BCOE⊥BC.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE.
Tam giác SOESOE vuông tại OO ( do SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD)) nên góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE là ˆSEOSEO^.
Tam giác OBCOBC vuông tại OO ( do AC⊥BDAC⊥BD) nên trung tuyến OE=BC2=2a2=aOE=BC2=2a2=a.
Vậy tan(ˆ(SBC),(ABCD))=tan(ˆSE,OE)=tanˆSEO=SOOE=a√6a=√6tan((SBC),(ABCD)^)=tan(SE,OE^)=tanSEO^=SOOE=a6a=6.
a,Vì SO\(\perp\)(ABCD) và BD⊂(ABCD)
⇒BD\(\perp\)SO
Vì ABCD là hình vuông ⇒BD\(\perp\)AC
mà SO,AC⊂(SAC), SO cắt AC tại O
⇒BD\(\perp\)(SAC).
b,Vì S.ABCD là hình chóp đều
⇒SA=SB=SC=SD
Đặt H là trung điểm BC mà SB=SC
⇒SH\(\perp\)BC tại H
Có giao tuyến của (SBC) và (ABCD) là BC
SH⊂(SBC),SH\(\perp\)BC tại H
OH⊂(ABCD),OH\(\perp\)BC tại H
⇔Góc giữa (SBC) và (ABCD) là SHO
Xét tam giác SOH vuông tại O có
tanSHO=\(\dfrac{SO}{HO}\) với HO=\(\sqrt{OB^2-HB^2}\)=a
⇒tanSHO=\(\sqrt{6}\)
c,
a) Vì đáy ABCDABCD là hình vuông nên BD⊥ACBD⊥AC.
Do ⎧⎨⎩BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O{BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O nên BD⊥(SAC)BD⊥(SAC).
b) Gọi EE là trung điểm BCBC.
Hình chóp S.ABCDS.ABCD đều nên cạnh bên SB=SCSB=SC.
Do đó tam giác SBCSBC cân tại SS nên trung tuyến SE⊥BCSE⊥BC.
Tứ giác ABCDABCD là hình vuông nên AC=BD⇒OB=OCAC=BD⇒OB=OC.
Do đó tam giác OBCOBC cân tại O⇒O⇒trung tuyến OE⊥BCOE⊥BC.
Ta có (SBC)∩(ABCD)=BC(SBC)∩(ABCD)=BC; trong (SBC)(SBC) có SE⊥BCSE⊥BC; trong (ABCD)(ABCD) có OE⊥BCOE⊥BC.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE.
Tam giác SOESOE vuông tại OO ( do SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD)) nên góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE là ˆSEOSEO^.
Tam giác OBCOBC vuông tại OO ( do AC⊥BDAC⊥BD) nên trung tuyến OE=BC2=2a2=aOE=BC2=2a2=a.
Vậy tan(ˆ(SBC),(ABCD))=tan(ˆSE,OE)=tanˆSEO=SOOE=a√6a=√6tan((SBC),(ABCD)^)=tan(SE,OE^)=tanSEO^=SOOE=a6a=6.
c) Vì ABAB // CDCD ⇒AB⇒AB // (SCD)(SCD) ⇒d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))⇒d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)).
Gọi II là trung điểm CDCD. Kẻ OJ⊥SIOJ⊥SI, (J∈SI)(J∈SI).
Vì tam giác OCDOCD cân tại OO nên trung tuyến OI⊥CDOI⊥CD.
Vì ⎧⎨⎩CD⊥SOCD⊥OISO∩OI=O{CD⊥SOCD⊥OISO∩OI=O nên CD⊥(SOI)CD⊥(SOI)⇒CD⊥OJ⇒CD⊥OJ.
Vì ⎧⎨⎩OJ⊥SIOJ⊥CDSI∩CD=I{OJ⊥SIOJ⊥CDSI∩CD=I nên OJ⊥(SCD)⇒d(O,(SCD))=OJOJ⊥(SCD)⇒d(O,(SCD))=OJ.
Tam giác OCDOCD vuông tại OO ( do AC⊥BDAC⊥BD) nên trung tuyến OI=CD2=2a2=aOI=CD2=2a2=a.
Xét tam giác SOISOI vuông tại OO có đường cao OJOJ, ta có: 1OJ2=1SO2+1OI2=1(a√6)2+1a2=76a21OJ2=1SO2+1OI2=1(a6)2+1a2=76a2
⇒OJ2=6a27⇒OJ=√42a7⇒OJ2=6a27⇒OJ=42a7.
Dễ thấy: AO∩(SCD)=CAO∩(SCD)=C, nên ta có d(A,(SCD))d(O,(SCD))=ACOC=2d(A,(SCD))d(O,(SCD))=ACOC=2
⇒d(A,(SCD))=2.d(O,(SCD))=2.OJ=2.√42a7=2√42a7⇒d(A,(SCD))=2.d(O,(SCD))=2.OJ=2.42a7=242a7.
Vậy d(AB,SC)=d(A,(SCD))=2√42a7d(AB,SC)=d(A,(SCD))=242a7.
a) Vì đáy ABCDABCD là hình vuông nên BD⊥ACBD⊥AC.
Do ⎧⎨⎩BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O{BD⊥ACBD⊥SOAC∩SO=O nên BD⊥(SAC)BD⊥(SAC).
b) Gọi EE là trung điểm BCBC.
Hình chóp S.ABCDS.ABCD đều => SB=SCSB=SC.
Do đó tam giác SBCSBC cân tại SS nên trung tuyến SE⊥BCSE⊥BC.
Tứ giác ABCDABCD là hình vuông nên AC=BD⇒OB=OCAC=BD⇒OB=OC.
Do đó tam giác OBCOBC cân tại O⇒O⇒trung tuyến OE⊥BCOE⊥BC.
Ta có (SBC)∩(ABCD)=BC(SBC)∩(ABCD)=BC; trong (SBC)(SBC) có SE⊥BCSE⊥BC; trong (ABCD)(ABCD) có OE⊥BCOE⊥BC.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)(SBC) và (ABCD)(ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE.
Tam giác SOESOE vuông tại OO ( do SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD)) nên góc giữa hai đường thẳng SESE và OEOE là góc SEO
Tam giác OBCOBC vuông tại OO ( do AC⊥BDAC⊥BD) nên trung tuyến OE=\(\dfrac{BC}{2}=\dfrac{2a}{a}=a\)OE=BC2=2a2=a.
Vậy tan(ˆ(SBC),(ABCD))=tan(ˆSE,OE)=tanˆSEO= \(\dfrac{SO}{OE}=\dfrac{a\sqrt{6}}{a}=\sqrt{6}\).
