Đặt: \(a=\frac{1+x}{1-x};b=\frac{1+y}{1-y};c=\frac{1+z}{1-z}\)
\(\Rightarrow-1< x,y,z< 1\)
Theo đề bài thì \(abc=1\)
\(\Rightarrow\frac{1+x}{1-x}.\frac{1+y}{1-y}.\frac{1+z}{1-z}=1\)
\(\Rightarrow x+y+z=-xyz\)
Thế lại bài toán ta có:
\(\text{ Σ}\frac{a\left(3a+1\right)}{\left(a+1\right)^2}=\text{ Σ}\frac{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\left(3.\frac{1+x}{1-x}+1\right)}{\left(\frac{1+x}{1-x}+1\right)^2}=\text{ Σ}\frac{x^2+3x+2}{2}\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2+3\left(x+y+z\right)}{2}+3\)
\(=3+\frac{x^2+y^2+z^2-3xyz}{2}\)
\(\ge3+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}-3xyz}{2}\)
\(=3+\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.\left(1-\sqrt[3]{xyz}\right)}{2}\ge3\)
PS: Nè cô
Nè cô Bùi Thị Vân - Trang của Bùi Thị Vân - Học toán với OnlineMath
Here :) Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
A no thơ guây :v
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(1=abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{a\left(3a+1\right)}{\left(a+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}\)
ĐÚng vì \(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-1\right)^2\left(3a+1\right)}{4\left(a+1\right)^2}\ge0\)
Tượng tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b\left(3b+1\right)}{\left(b+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}b+\frac{1}{4};\frac{c\left(3c+1\right)}{\left(c+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên có:
\(VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}=3\left(a+b+c\ge3\right)\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
tự đăng tự giải (khác zì tự biên tự diễn)
