Câu hỏi của Hoàng Thị Thanh Huyền

Question

Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây BC cố định, A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: góc AFE = góc ACB
b) Kẻ đường kín...

Phương Ann · Accepted Answer

a) Chứng minh $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

$\widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^0$

$\Rightarrow\text{BFEC nội tiếp}$

$\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

b) Chứng minh $AB\times CN=AN\times BD$

$ON\perp BC$

$\Rightarrow\text{N là điểm chính giữa của cung nhỏ BC}$

$\Rightarrow\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}$

$\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{NAC}$

$\text{mà }\widehat{B_1}=\widehat{N_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{AC}\right)$

$\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta NAC\left(g-g\right)$

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{BD}{CN}$

$\Rightarrow AB\times CN=AN\times BD$

c) Chứng minh $BC\times AK=AB\times CK+AC\times BK$

$\odot$ $\Delta ABC\text{ có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H}$

$\Rightarrow\text{H là trực tâm của }\Delta ABC$

$\Rightarrow AK\perp BC$

$\odot$ Suy ra $\dfrac{1}{2}\times BC\times AK=S_{ABKC}$ (1)

$\odot$ $\text{Gọi T là giao điểm của AK và BC}$

$\widehat{AFC}=\widehat{CTA}=90^0$

$\Rightarrow\text{AFTC nội tiếp}$

$\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$

$\text{mà }\widehat{A_1}=\widehat{C_2}$

$\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

$\Rightarrow\Delta CHK\text{ có CT vừa là đường cao vừa là đường phân giác}$

$\Rightarrow\text{CB là đường trung trực của HK}$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CK=CH\BK=BH\end{matrix}\right.$

$\odot$ $\dfrac{1}{2}\times AB\times CK=\dfrac{1}{2}\times AF\times CH+\dfrac{1}{2}\times FB\times CH=S_{AHC}+S_{BHC}=S_{AHC}+S_{BKC}$

$\odot$ $\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=\dfrac{1}{2}\times AE\times BH+\dfrac{1}{2}\times EC\times BH=S_{AHB}+S_{BHC}$

$\odot$ Suy ra $\dfrac{1}{2}\times AB\times CK+\dfrac{1}{2}\times AC\times BK=S_{AHC}+S_{BKC}+S_{AHB}+S_{BHC}=S_{ABKC}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ đpcmCâu trả lời: a) Chứng minh $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$