Cho đường tròn $(O ; R)$ và dây $B C$ cố định không qua $O$. Trên tia đối của tia $B C$ lấy điểm $A$ khác $B$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn ($M, N$ là tiếp điểm).
1) Chứng minh bốn điểm $A, M, O, N$ cùng thuộc một đường tròn.
2) $M N$ cắt $O A$ tại $H$. Chứng minh $O A \perp M N$ và $A H . A O=A B . A C$.
3) Chứng minh khi $A$ thay đổi trên tia đối của tia $B C$, đường thẳng $M N$ luôn đi qua một điểm cố định.
Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=(2 m-1) x-m^{2}+2$ ($m$ là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ khi $m=2$.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}-3 x_{2}=7$.
Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$.
Chứng minh bất đẳng thức sau: $\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+b^{2}} \geq 3$.
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoăc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $34$m. Nếu tăng chiều dài thêm $2$m và tăng chiều rộng thêm $3$m thì diện tích tăng thêm $50$m$^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
2) Một thuyền đánh cá chuẩn bị $10$ thùng dầu để ra khơi, mỗi thùng là một hình trụ có đường kính đáy là $0,6$m, chiều cao là $1,5$m. Hỏi thuyền đó đã chuẩn bị bao nhiêu lít dầu? (Bỏ qua độ dày của vỏ thùng, lấy $\pi \approx 3,14$).
Cho hai biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{x-3 \sqrt{x}+4}{x-2 \sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$ với $x>0, x \neq 4$.
1) Tính giá trị của $A$ khi $x=9$.
2) Rút gọn biểu thức $B$.
3) Cho $P=\dfrac{B}{A}$. Tìm $x$ để $|P|+P=0$.
