Question

Cho đường (O;R) và điểm A với OA=2R. Từ A, vẽ tiếp tuyến AB và AC với (O), B và C là tiếp điểm. Đường thẳng OA cắt BC tại H.

a) Chứng minh AO.AH = 3R^2

b) Đường thẳng thay đổi qua A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh AM.AN không thay đổi.

Answer 1

- Hình tự vẽ nà ( ngại vẽ hình )

a, - Xét ( O ) có : Hai tiếp tuyến AB , AC cắt nhau tại A .

=> AB = AC .

Mà OB = OC ( = R )

=> AO là đường trung trực .

=> HB = HC ( tính chất đường trung trực )

=> H là trung tuyến BC .

=> OA vuông góc với BC .

- Lại có : AB là tiếp tuyến của ( O ) .

=> AB vuông góc với BO .

- Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AOB vuông tại B có BH vuông góc với OA có :

\(AB^2=AH.AO\) ( I )

- Áp dụng định lý pi - ta - go vào tam giác AOB vuông tại B có :

\(AB^2+BO^2=AO^2\)

=> \(AB^2=AO^2-BO^2\)

Mà AO = 2R .

=> \(AB^2=4R^2-R^2=3R^2\) ( II )

- Từ ( I ) và ( II ) => Đpcm .