Question

Cho đoạn thẳng AB và điểm M cố định thuộc đường thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M vẽ hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí các điểm C và D sao cho diện tích tam giác MCD nhỏ nhất

Answer 1

 Đặt AC = x; BD = y (x, y > 0)

Ta có \(\Delta ACM\sim\Delta BMD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{MB}=\frac{AM}{BD}\)

\(\Rightarrow AC.BD=AM.MB=const\Rightarrow xy=c=const\)

\(S_{MCD}=S_{ACDB}-S_{ACM}-S_{MBD}=\frac{\left(x+y\right)\left(AM+MB\right)}{2}-\frac{x.AM}{2}-\frac{y.MB}{2}\)

\(=\frac{x.MB+y.AM}{2}\ge\sqrt{xy.MB.AM}=\sqrt{c^2}=c\)

Dấu bằng xảy ra khi x.MB = y.AM, lại có \(xy=MB.AM\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=AM\\y=MB\end{cases}}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S_{CMD}=c\left(đvdt\right)\) xảy ra khi AC = AM; BD = BM.