Question

Cho \(\Delta\) ABC vuông ở C có góc A = 60\(^o\). Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt BC ở E. Kẻ EK \(\perp\) AB (K \(\in\) AB). Kẻ BD \(\perp\) tia AE (D \(\in\) AE). Cm :

a) AC = AK và AE \(\perp\) CK.

b) KA = KB.

c) EB > AC.

d) Ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm.

Answer 1

a) * Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có:

AE là cạnh huyền chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (vì AE là phân giác của \(\widehat{A}\) )

Vậy: ΔACE =Δ AKE (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ *AC =AK (2 cạnh tương ứng)

→ A ∈ đường trung trực của CK

* CE = KE (2 cạnh tương ứng)

→ E ∈ đường trung trực của CK

Vậy AE là đường trung trực của CK

=> AE⊥CK

b) Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\) (1)

Lại có: ΔABC vuông tại A có \(\widehat{A}=60^0\Rightarrow\widehat{ABC}=30^0\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{A_2}=\widehat{ABC}\)

⇒Δ ABE cân tại E

mà EK ⊥AB => EK là đường cao của Δ ABE

=> EK cũng là đường trung tuyến của ΔABE

=> KA = KB

c) * ΔACE có: AE là cạnh huyền nên AE > AC

mà AE = EB ( vì ΔABE cân tại E)

nên: EB > AC

d) * ΔAEB có:

KE ⊥ AB => KE là đường cao của ΔAEB

AE ⊥ BD => BD là đường cao của ΔAEB

AC ⊥ EB => AC là đường cao của ΔAEB

Vậy: KE, BD, AC là 3 đường cao của ΔAEB

Do đó: KE, BD, AC cùng đi qua một điểm

(Câu d mình ko chắc lắm!!)