Gọi thương của phép chia đa thức P(x) cho (x-1 ) và (x-3) theo thứ thự là A(x) và B(x) và dư lần lượt là 4 và 14 .
Ta có :
\(P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\) (1)
\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)
Gọi thương của phép chia P(x) cho đa thức bậc hai (x-1)(x-3) là C(x) và dư là R(x) . Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax+b . Ta có :
\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\forall x\) (3)
Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :
\(\hept{\begin{cases}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)
Thay x=3 vào (2) và (3) ta có :
\(\hept{\begin{cases}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)
Từ \(\hept{\begin{cases}a+b=4\\3a+b=14\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=-1\end{cases}}\)
Vậy dư của phép chia P(x) cho (x-1) (x-3) là 5x-1.
