Question

Cho các số\(a,b,c\in\left[0;1\right]\)

Chứng minh rằng: \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)

Answer 1

Vì \(a,b,c\le1\) nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\1-b\ge0\\1-c\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\)

Mà ta có: \(\hept{\begin{cases}b^2\le b\\c^3\le c\\1-abc\le1\end{cases}}\)

Từ đó suy ra:

\(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)

Ta có ĐPCM