Question

Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng\(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Answer 1

Áp dụng bđt Cô-si ta có:

\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{ab}}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt{ab}}}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le2\frac{\sqrt{\sqrt{ab}}}{2}\)'

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt{\sqrt{ab}}\)

Dấu '=' xảy ra <=> a=b

Answer 2

Thanks bạn rất nhiều