Question

Cho các số thực DƯƠNG a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge4\left(a+b+c-1\right)\) .

Answer 1

Ta có: \(abc=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{c}\\bc=\frac{1}{a}\\ca=\frac{1}{b}\end{cases}}\)

\(abc=1\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}=1\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(1=\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge4\left(a+b+c-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+cb^2+2abc+4\ge4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+6\ge4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+6\ge4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{c}+\frac{a+c+b}{b}+\frac{a+b+c}{a}+3\ge4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+3\ge4\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a+b+c}\ge4\)(1)

Ta chứng mĩnh BĐT phụ

Với a,b,c > thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Thật vậy.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{9}{a+b+c}+\frac{3}{a+b+c}=\frac{12}{3}=4\)(2)

Từ (1) và  (2)

=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge4\left(a+b+c-1\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Answer 2

Bạn ơi, tại sao \(\frac{9}{a+b+c}+\frac{3}{a+b+c}=\frac{12}{3}\) được hả bạn?

Answer 3

xin lỗi bạn. mình gõ nhầm.

làm lại đoạn đấy nhé

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{9}{a+b+c}+\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{12}{3}=4\left(v\text{ì}a+b+c\le3\right)\)

Answer 4

sao a+b+c<=3 hả bạn? VD như a = 1, b = 1/2, c = 2 thoả mãn abc = 1 thì a+b+c =7/2 > 3 mà bạn.

Answer 5

kudo: \(\sqrt[3]{abc}=1\Rightarrow1\le\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow a+b+c\ge3\)

chớ sao bạn lại giải thích bên dưới: \(a+b+c\le3\)

Answer 6

Em làm nhưng nói trước là ngược dấu=)) (em biết mình sai nên ko dùng níc ctv đăng)

Lời giải

Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: \(VT\ge2.2.2\sqrt{\left(abc\right)^2}=8\) (1)

Lại có: \(abc=1\Rightarrow\sqrt[3]{abc}=1\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(VP\le4.\left(3-1\right)=8\) (2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

Answer 7

thì a+b+c>=3 thì lẽ ra 9/(a+b+c) + 3/(a+b+c) phải <= 12/3 chứ ạ