a5 + b5 = 29(c5 + d5)
<=> a5 + b5 + c5 + d5 = 30(c5 + d5) \(⋮\)30 (1)
Xét hiệu a5 + b5 + c5 + d5 - (a + b + c + d)
= (a5 - a) + (b5 - b) + (c5 - c) + (d5 - d)
Ta có a5 - a = (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)
Nhận thấy : \(\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮30\left(\text{tích 5 số nguyên liên tiếp}\right)\\5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮30\end{cases}}\)
=> a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) \(⋮\)30
=> a5 - a \(⋮\)30
Tương tự ta chứng minh được b5 - b \(⋮\)30 ; c5 - c\(⋮\)30 ; d5 - d \(⋮\)30
=> (a5 - a) + (b5 - b) + (c5 - c) + (d5 - d) \(⋮\)30
=> a5 + b5 + c5 + d5 - (a + b + c + d) \(⋮\)30 (2)
Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮\)30
