a) Ta có: \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{\frac{1}{2}}>\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" không xảy ra
b) Ta có: \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}>\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Bài 1 : cho các số không âm a,b,c . Chứng minh :
a, \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
c. \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
d, \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
1) cho a;b;c ko âm .chứng minh \(\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
2) cho a;;b;c dương và abc=1. chứng minh \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a. b. c không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)
2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)
3/ Chứng minh
a) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c dương)
b) \(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\) (với a, b, c dương)
Cho các số a,b,c dương. Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2\sqrt{a}}{a^3+b^2}+\frac{2\sqrt{b}}{b^3+c^2}+\frac{2\sqrt{c}}{c^3+a^2}\)
Cho a,b,c là các số dương, Cm:
\(\frac{1}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+3\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+3\sqrt{a}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
Giúp Mình Với các bạn ơi !!!!!
Bài 1: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{\sqrt{2xy+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{2yz+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{2zx+x^2}}\ge\sqrt{3}\)
Bài 2: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: \(a+b+c=3\)
Tìm min của \(P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\)
Bài 3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ca}\)
Rảnh rỗi :D
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2021}\)
Chứng minh rằng : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2021}{2}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=abc. Chứng minh rằng:
\(\frac{b}{a\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{b\sqrt{c^2+1}}+\frac{a}{c\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
