Question

Cho biểu thức: \(P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\) với x≥0 , x≠4

a)Chứng minh \(P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

b)Tìm giá trị lớn nhất của P

Answer 1

a/ \(P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\left(ĐKXĐ:x\ge0,x\ne4\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\left(\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\)

b/ \(P=\frac{\sqrt{x}+1+1}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)

$P$ đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\) đạt GTNN

Vì \(\sqrt{x}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge1\) đạt giá trị nhỏ nhất là $1$ tại \(x=0\)

Vậy \(MaxP=2\Leftrightarrow x=0\)

KL: ...................