Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD
a C/m DC vuong BC
b Gọi I là giao điểm EF và BC. C/m AI = 1/2 DB
c Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt BD tại M. C/m MICF là hình thang cân
d Tìm vị trí của E trên AB. để A, I, D thẳng hàng
a/
Ta có
BE=DF (cạnh đối hbh)
BE=CF (gt)
=> CF=DF => tg CDF cân tại F
Ta có
DF//BE => DF//AB mà \(AB\perp AC\Rightarrow DF\perp AC\)
=> tg CDF vuông cân tại F \(\Rightarrow\widehat{FCD}=\widehat{FDC}=45^o\)
Tg ABC vuông cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o\)
\(\widehat{BCD}=\widehat{ACF}-\left(\widehat{ACB}+\widehat{FCD}\right)=180^o-\left(45^o+45^o\right)=90^o\)
\(\Rightarrow DC\perp BC\) (đpcm)
b/
Từ E dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại K
Xét tg vuông BEK có
\(\widehat{BKE}=180^o-\left(\widehat{BEK}+\widehat{ABC}\right)=180^o-\left(90^o+45^o\right)=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BKE}=45^o\) => tg BEK cân tại E => BE=KE
Mà BE=CF (gt)
=> KE=CF (1)
Ta có
\(KE\perp AB\)
\(AC\perp AB\Rightarrow CF\perp AB\)
=> KE//CF (2)
Từ (1) và (2) => CEKF là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)
=> IE=IF (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét tg vuông AEF có
IE=IF (cmt) \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}EF\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
Mà EF=DB (cạnh đối hbh)
\(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}DB\) (đpcm)
c/ Gọi N là giao của MI với AF
Xét tg vuông CIN có
\(\widehat{CIN}=180^o-\left(\widehat{ACB}+\widehat{MNF}\right)=180^o-\left(45^o+90^o\right)=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CIN}=\widehat{ACB}=45^o\) => tg CIN cân tại N => NI=NC (3)
\(MI\perp AF;DF\perp AF\) => MI//DF
BD//EF (cạnh đối hbh) => MD//IF
=> DFIM là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => MI=DF
Mà DF=CF (cmt)
=> MI=CF (4)
Xét tg MNF
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{NC}=\dfrac{MI}{CF}=1\) => CI//MF (Talet đảo trong tam giác) (5)
Từ (4) và (5) => MICF là hình thang cân
d/
Nối D với I, Giả sử A; I; D thẳng hàng
DF//BE (cạnh đối hbh) => DF//AB
\(AI=\dfrac{1}{2}EF\) (cmt) mà IE=IF => AI=IE=IF => tg AIE cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{EAI}=\widehat{AEI}\) (6)
Mà \(\widehat{EAI}=\widehat{FDI};\widehat{AEI}=\widehat{DFI}\) (góc so le trong) (7)
Từ (6) và (7) \(\Rightarrow\widehat{FDI}=\widehat{DFI}\) => tg IDF cân tại I
=> ID=IF Mà AI=IE=IF => AI=IE=IF=ID
=> AEDF là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
Mà \(\widehat{A}=90^o\)
=> AEDF là hcn \(\Rightarrow DE\perp AB\) (8)
=> AD=EF (đường chéo HCN)
mà EF=BD (cạnh đối HCN)
=> AD=BD => tg ABD cân tại D (9)
Từ (8) và (9) => BE=AE (Trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)
=> E phải là trung điểm của AB thì A, I, D thẳng hàng
