Question

Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a^2\)+ \(b^2\)+ \(c^2\)= 7. Chứng minh ab+ bc+ ca+ a+ b+ c < 12

Answer 1

Ta có BĐT quen thuộc 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow ab+bc+ca\le7\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta lại có: 

\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le21\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{21}\left(2\right)\)

Cộng theo vế 2 BĐT \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có: 

\(ab+bc+ca+a+b+c\le7+\sqrt{21}< 7+\sqrt{25}=12\) (ĐPCM)