Question

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BH và CK của ∆ABC cắt nhau tại I. Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm O. Các đoạn thẳng DI và BC cắt nhau tại M, Chứng minh rằng:

a, Tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn.

b, OM vuông góc với BC

Answer 1

a) Xét tứ giác AHIK có:

\(\widehat{AKI}+\widehat{AHI}=90^0+90^0=180^0\)

Nên tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn(đpcm)

b) Vì CI vuông góc với AB(I là trực tâm tam giác ABC) và BD vuông góc với AB(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CI // BD.

VÌ BI vuông góc với AC(I là trực tâm tam giác ABC) và CD vuông góc với AC(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên BI // CD.

Xét tứ giác BICD có:

CI // BD; BI // CD

Nên tứ giác BICD là hình bình hành.

Suy ra, BC và DI cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đoạn.

Xét tam giác AID có:

O là trung điểm của AD và M là trung điểm của DI nên OM là đường trung bình của tam giác AID.

Suy ra, AI // OM. Mà AI vuông góc với BC(do I là trực tâm tam giác ABC) nên OM vuông góc với BC(đpcm).