Question

chờ a,b,c nguyên tố với nhau từng đôi một thỏa mãn (a+b)c=a.b. vậy a+b có thể là số chính phương ko ?

Answer 1

Ta có bổ đề sau: Với a,b nguyên sao cho a.b=n² mà (a,b)=1 thì a,b là số chính phương

Ta có: (a+b)c=ab \(\Rightarrow\) ab-ac-bc=0 \(\Rightarrow\) ab-ac-bc+c²=c² \(\Rightarrow\) (a-c)(b-c)=c²  (*)

Gọi  d là ƯCLN của (a-c) và (b-c) ta có:

a-c chia hết cho d ; b-c chia hết cho d. Mặt khác từ (*) ta có: c² chia hết cho d² \(\Rightarrow\) c chia hết cho d

nên a,c cũng chia hết cho d mà (a,b)=1 nên d=1. nên a-c; b-c là hai số chính phương

Đặt a-c=m²;b-c=n² (m,n tự nhiên) \(\Rightarrow\) c²=m²n² \(\Rightarrow\)c=mn

nên a-c+b-c=m²+n²\(\Rightarrow\)a+b=m²+n²+2c=m²+n²+2mn=(m+n)²