Question

Cho a,b,c lần lượt là các cạnh và nữa chu vi một tam giác. CHứng Minh bất đẳng thức

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Answer 1

ta sử dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)(cái này bạn có thể dễ dàng chúng minh )

ta có 

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)(1)

tương tự ta có 

\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) (2)

\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)(3)

cộng theo vế của bđt (1);(2);(3) ta có

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

hay \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)