Ta có \(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\)
\(P=\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\)
\(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(P=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
\(P=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
Áp dụng bdt Cô-si ( tự làm lười lắm :>)
\(\Rightarrow P=3+2+2+2=9\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\)
GTNN của P là 9
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(P=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}\right)^2\right]\left[\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2\right]\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki
\(\Rightarrow P\ge\left(\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}}+\sqrt{c}.\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy Min P = 9 <=> a = b = c = 1
Góp thêm cách nữa:
Áp dụng BĐT Cô si (AM-GM thì đúng hơn,sợ mí bạn không hiểu lại cho rằng mình đọc sai tên bđt nx thì mệt lém)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Thêm cách nữa cho vui =))
Ta chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a,b,c dương
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng:
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{a+b+c}=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Thêm kết luận ( vừa nãy quên ) =))
Vậy \(P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c\)
ahwi: mình làm lại bài bạn từ dòng 4 trở xuống
\(P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge3+2.\sqrt{\frac{ab}{ab}}+2.\sqrt{\frac{ac}{ac}}+2.\sqrt{\frac{bc}{bc}}=3+2+2+2=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\\\frac{b}{c}=\frac{c}{b}\\\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\b^2=c^2\\c^2=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c\)
