\(\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}\)\(=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c-a\right)+\left(c^2+ab+bc+ca\right)\left(a-b\right)+\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b^2c+bc^2+c^2a-ab^2-a^2b-ca^2\right)+\left(c^2a+a^2b+ca^2-bc^2-ab^2-b^2c\right)+\left(a^2b+ab^2+b^2c-ca^2-bc^2-c^2a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(a^2b-ca^2\right)+\left(b^2c-bc^2\right)-\left(ab^2-c^2a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b+c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)\(=\frac{\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)
