Question

Cho a,b,c > 0 . CMR: 

\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\ \)

Answer 1

Đặt A= abc(bc+a²)(ac+b²)(ab+c²)

Giả sử 1/a + /b + 1/c - (a+b)/(bc+a²) - (b+c)/(ac+b²) - (c+a)/(ab+c²) >=0

<=> (a⁴b⁴+b⁴c⁴+c⁴a⁴-a⁴b²c²-b⁴a²c²-c⁴a²b²)/A >= 0

<=> (2a⁴b⁴+2b⁴c⁴+2c⁴a⁴-2a⁴b²c²-2b⁴a²c²-2c⁴a²b²)/2A >= 0

<=> (a²b²-b²c²)²+(b²c²-c²a²)²+(c²a²-a²b²)²/2A >= 0  (đúng với mọi a,b,c)

Answer 2

mk chỉ lm theo cách hiểu của mk thôi!nếu ko đúng thì thông cảm nha!

giả sử: \(a\ge b\ge c>0\)(ko mất tính tổng quát)

\(\Rightarrow a^2\ge ac\)\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge ac+bc\)  (vì b>0;c>0)

\(\Leftrightarrow a^2+bc\ge c\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a^2+bc}\le\frac{1}{c}\) (vì a;b;c>0)     (1)

c/m tương tự ta đc: \(\frac{b+c}{ac+b^2}\le\frac{1}{a};\)    (2)

                             \(\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{b}\)   (3)

từ (1),(2),(3)=>đpcm

Answer 3

Giả sử 1/a+1/b+1/c>=(a+b)/(bc+a²) - (b+c)/(ac+b²) - (c+a)/(ab+c²)

<=> 1/a + /b + 1/c - (a+b)/(bc+a²) - (b+c)/(ac+b²) - (c+a)/(ab+c²) >=0

<=> (a⁴b⁴+b⁴c⁴+c⁴a⁴-a⁴b²c²-b⁴a²c²-c⁴a²b²)/abc(bc+a²)(ac+b²)(ab+c²) >= 0

<=> (2a⁴b⁴+2b⁴c⁴+2c⁴a⁴-2a⁴b²c²-2b⁴a²c²-2c⁴a²b²)/2abc(bc+a²)(ac+b²)(ab+c²) >= 0

<=> (a²b²-b²c²)²+(b²c²-c²a²)²+(c²a²-a²b²)²/2abc(bc+a²)(ac+b²)(ab+c²) >= 0  (dung voi moi abc)