a + b=1 và a,b>0
Áp dụng bất đảng thức cauchy . \(a+b\ge2\sqrt{a.b}\) dấu = xảy ra khi a=b
Vậy \(a.b\le\frac{\left(a+b\right)2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\) \(a.b+2\le\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{\sqrt{ab+2}}\ge\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4}}}=\frac{2}{3}\)(1)
Có \(\frac{1}{a+1},\frac{1}{b+1}\)cũng là số dương nên áp dụng Cauchy có : \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge2\frac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{2}{\sqrt{ab+a+b+1}}=\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\) (2)
Từ (1) thay vào (2) có
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{a.b+2}}\ge2.\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)
