Question

cho a=11...15 ( n chữ số 1) và b=11...19(n chữ số 1 ) . CMR ab+4 là số chính phương

~~~##helpme~~~##

Answer 1

\(ab+4=\left(11...1.10+5\right)\left(11...1.10+9\right)+4=\left(\frac{10^n-1}{9}.10+5\right)\left(\frac{10^n-1}{9}.10+9\right)+4.\)

\(=\left(\frac{10^{n+1}-10+45}{9}\right)\left(\frac{10^{n+1}-10+81}{9}\right)+4=\frac{\left(10^{n+1}+35\right)\left(10^{n+1}+71\right)+324}{81}\)\

\(=\frac{10^{2n+2}+106.10^{n+1}+2809}{81}=\frac{\left(10^{n+1}+53\right)^2}{81}=\left(\frac{10^{n+1}+53}{9}\right)^2\)

\(10^{n+1}+53=100...053\)(n-1 chữ số 0) có tổng các c/s=1+0+5+3=9

\(\Rightarrow10^{n+1}+53⋮9\Rightarrow\frac{10^{n+1}+53}{9}\in Z\)

=>ab+4 là số chính phương