Question

Cho a là số nguyên chứng minh rằng :

a^2-a chia hết cho 2

a^3-3 chia hết cho 3

a^4-5 chia hết cho 5

Ai nhanh nhất mk tích

Answer 1

Bài làm:

a) \(a^2-a=a\left(a-1\right)\)

Vì a là số nguyên

=> a ; a-1 là 2 số nguyên liên tiếp

Vì trong 2 số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số chẵn ( chia hết cho 2)

=> a(a-1) chia hết cho 2

=> \(a^2-a⋮2\)

Sai sai nên sửa đề:

b) \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì đó là tích 3 số nguyên liên tiếp và trong 3 số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3

=> (a-1)a(a+1) chia hết cho 3

=> \(a^3-a⋮3\)

c) \(a^5-a=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[\left(a^2-4\right)+5\right]\)

\(=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left[\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\right]\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)

Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp và trong 5 số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 5

=> (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) chia hết cho 5

Mà 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 5

=> \(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮5\)

=> \(a^5-a⋮5\)

Answer 2

+) Ta có a² - a = a( a - 1 )

Vì a , a - 1 là hai số nguyên liên tiếp => Ít nhất 1 trong 2 số chia hết cho 2

=> a( a - 1 ) chia hết cho 2 hay a² - a chia hết cho 2 ( đpcm )

+) Ta có a³ - a = a( a² - 1 ) = a( a - 1 )( a + 1 ) ( sửa 3 thành a may ra tính được )

Vì a ; a - 1 ; a + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => Ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3

=> a( a - 1 )( a + 1 ) chia hết cho 3 hay a³ - a chia hết cho 3 ( đpcm )