Question

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 .

CMR : a²b + b²c + c²a < = \(\frac{4}{27}\) .

 

Answer 1

Trong ba số a,b,c không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng b là số nằm giữa hai số a,c nghĩa là \(a\le b\le c\)  hoặc \(a\ge b\ge c\). Khi đó ta có \(c\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\to b^2c+c^2a\le bc^2+abc\to a^2b+b^2c+c^2a\le a^2b+bc^2+abc\)

\(=b\left(a^2+c^2+ac\right)\le b\left(a+c\right)^2=\frac{1}{2}\times2\cdot2b\cdot\left(a+c\right)^2\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2b+\left(a+c\right)+\left(a+c\right)}{3}\right)^3=\frac{1}{2}\left(\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)