Đặt:
\(P=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\)
Ta c/m:
\(a^3+1\ge a^2+a\Leftrightarrow a^3-a^2-\left(a-1\right)\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\Rightarrow DPCM\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)
Áp dụng bđt Sac- xơ ngược ta được:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{4}{2}\right)\)
\(=\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\)
Ta cần c/m: \(\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{9}\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Tiếp nhé:
Áp dụng bđt AM-GM ta được:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\) (do abc=1)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
=>DPCM
Bài này anh nhờ 1 người bạn trên fb giúp
Ah có cáh khác a ~
Bài này có ở đề cương thi HSG huyện trường a ~
Áp dụng BĐT AG-GM ta có :
\(a^3 +a\ge2a^2\)
\(c^3+c\ge2c^2\)
Đặt biểu thức là T ta có :
\(\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{a}{2a^2+1}+\frac{b}{2b^2+1}+\frac{c}{2c^2+1}\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow T\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\left(1\right)\)
Vì \(abc=1\Rightarrow\left(a,b,c\right)=\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\left(x,y,z>0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\right)\)
\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2xy+y^2+2zy+z^2+2xz}\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\) (2)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow T\le1\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
