Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a mở rộng, ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\)
\(=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Do a,b,c dương nên áp dụng cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^2}{b}\)và\(b\)ta được
\(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b}\cdot b}=2a\)
Tương tự
\(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\): \(\frac{c^2}{a}+a\ge2c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
bài này nhiều cách làm nhưng bn xem thử cách này nhé
Cach giải dùng B-W (Buffalo way)
Do a, b, c có vai trò hoán vị vòng quanh, giả sử \(b=min\left\{a,b,c\right\}\)\(VT-VP=\frac{b\left(b+c\right)\left(a+b-2c\right)^2+\left[c\left(4a-b\right)+b\left(4c-b\right)\right]\left(a-b\right)^2}{4abc}\ge0\)
qed./.
