với \(a_1,a_2,a_3,.....,a_n>0;a_1+a_2+a_3+....+a_n=k\)
Chứng minh\(\left(a_1+\frac{1}{a_2}\right)^2+\left(a_2+\frac{1}{a_3}\right)^2+...+\left(a_n+\frac{1}{a_1}\right)^2\ge\frac{1}{n}\left(\frac{k^2+n^2}{k}\right)^2\)
Cho \(a_1;a_2;a_3;....;a_n>0\) thỏa mãn \(a_1+a_2+a_3+...+a_n=n\).CMR:
\(\frac{a_1}{1+a_2^2}+\frac{a_2}{1+a_3^2}+....+\frac{a_n}{1+a_1^2}\ge\frac{n}{2}\)
Giải
\(\frac{a_1}{1+a_2^2}=\frac{a_1\left(1+a_2^2\right)-a_1a_2^2}{1+a_2^2}\ge a_1-\frac{a_1a_2^2}{2a_2}=a_1-\frac{a_1a_2}{2}\)
Tương tự cộng vế theo vế ta được:
\(\Sigma\frac{a_1}{1+a_2^2}\ge\Sigma a_1-\left(\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_2a_3}{2}+....+\frac{a_na_1}{2}\right)\)
Mà \(\Sigma a_1=n\) nên ta cần cm \(\frac{1}{2}\left(a_1a_2+a_2a_3+....+a_na_1\right)\le\frac{n}{2}\) ( cái này e chịu ạ,ai giúp e với!)
Bạn nào chứng minh cho mình bđt cô si này với!!
\(\left(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\right)^n\ge a_1a_2...a_n\)
Cho dãy số a1;a2;a3.... sao cho a2=\(\frac{a_1-1}{a_1+1}\); a3= \(\frac{a_2-1}{a_2+1}\);...;an=\(\frac{a_n-1-1}{a_n-1+1}\).
a ) CMR : a1=a5
b) Xác định 5 số đầu tiên của dãy biết a101=3
Cho \(a_n=\left(-1\right)^n\cdot\left(\frac{n^2+n+1}{n\text{!}}\right)\)Với n > 0.
Tính \(A=a_1+a_2+a_3+...+a_{2017}\)
cho dãy số \(a_1,a_2,a_3,....saocho\)
\(a_2=\frac{a_1-1}{a_1+1};a_3=\frac{a_2-1}{a_2+1};....;a_n=\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}+1}\)
chứng minh \(a_1=a_5\)
Cho các số nguyên \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)\(\left(n\in N,n>1\right)\)thõa mãn \(\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)⋮3\)
Chứng minh rằng \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_n^3\right)⋮3\)
P/s : Này là đề thi loại HSG cấp trường đợt 2 đó :))
Thực ra mình lập câu hỏi này để giải một bài toán mình từng hỏi cho mọi người tham khảo, thì có một bạn nhờ mình giải.
Link : http://olm.vn/hoi-dap/question/715065.html
Thấy Online Math chọn thì không nỡ bỏ quên :v
Đề : Chia số \(2013^{2016}\) thành tổng các số tự nhiên.
Tìm số dư của tổng lập phương các số tự nhiên đó cho 6.
Bài này chủ yếu là đánh lừa các bạn, vì không rõ ràng ở phần " tổng các số tự nhiên", chúng ta chẳng biết tổng của các số nào cả, có rất nhiều cách chia như vậy. Với những bài có dạng như này, mẹo là các bạn đưa về dạng tổng quá, sẽ dễ dàng chứng minh được.
Cách giải :
Đặt \(2013^{2016}=a_1+a_2+...+a_n\)
Tổng lập phương các số tự nhiên này là :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\)
Có :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)
\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+...+a_n\left(a_n^2-1\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)
Thấy \(\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right);\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right);...;\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng chứng minh nó chia hết cho 6.
Do đó \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\) chia hết cho 6, tức \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) có cùng số dư với \(2013^{2016}\left(=a_1+a_2+...+a_n\right)\) khi chia cho 6.
Các bạn tự tìm số dư, vì phần còn lại khá đơn giản :)
Thực ra mình lập câu hỏi này để giải một bài toán mình từng hỏi cho mọi người tham khảo, thì có một bạn nhờ mình giải.
Link : http://olm.vn/hoi-dap/question/715065.html
Thấy Online Math chọn thì không nỡ bỏ quên :v
Đề : Chia số \(2013^{2016}\) thành tổng các số tự nhiên.
Tìm số dư của tổng lập phương các số tự nhiên đó cho 6.
Bài này chủ yếu là đánh lừa các bạn, vì không rõ ràng ở phần " tổng các số tự nhiên", chúng ta chẳng biết tổng của các số nào cả, có rất nhiều cách chia như vậy. Với những bài có dạng như này, mẹo là các bạn đưa về dạng tổng quá, sẽ dễ dàng chứng minh được.
Cách giải :
Đặt \(2013^{2016}=a_1+a_2+...+a_n\)
Tổng lập phương các số tự nhiên này là :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\)
Có :
\(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)
\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+...+a_n\left(a_n^2-1\right)\)
\(=\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)
Thấy \(\left(a_1-1\right)a\left(a_1+1\right);\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right);...;\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên dễ dàng chứng minh nó chia hết cho 6.
Do đó \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\) chia hết cho 6, tức \(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3\) có cùng số dư với \(2013^{2016}\left(=a_1+a_2+...+a_n\right)\) khi chia cho 6.
Các bạn tự tìm số dư, vì phần còn lại khá đơn giản :)