Question

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn: \(x,y>-1\) và \(x-2y\ge1\).

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{(x+1)\times\left(y+1\right)}\)

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=a>0\\y+1=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)-2\left(b-1\right)\ge1\)

\(\Rightarrow a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)

\(A=\dfrac{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)

\(A=\left(\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}\right)+\dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\) hay \(x+1=2\left(y+1\right)\)