Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Van Tien

Câu 5.

Trong các hàm số cho dưới đây, hàm nào là hàm riêng của toán tử Laplace. Trong trường hợp nếu là hàm riêng thì hãy chỉ ra trị riêng của nó?

a) sin(x + y + z)

b) cos(xy+yz+zx)

c) exp(x2 + y2 + z2)

d) ln(xyz) 

trần thị hương giang _ 2...
23 tháng 1 2015 lúc 22:34

phương trình dạng toán tử :  \(\widehat{H}\)\(\Psi\) = E\(\Psi\)

Toán tử Laplace: \(\bigtriangledown\)2 = \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

thay vào từng bài cụ thể ta có :

a.sin(x+y+z)

\(\bigtriangledown\)f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))sin(x+y+z)

                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)sin(x+y+z)

                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)cos(x+y+z)

                = -3.sin(x+y+z)

\(\Rightarrow\) sin(x+y+z) là hàm riêng. với trị riêng bằng -3.

b.cos(xy+yz+zx)

\(\bigtriangledown\)f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))cos(xy+yz+zx)

                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)cos(xy+yz+zx) +\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)cos(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)cos(xy+yz+zx)

                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)(y+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)(x+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)(y+x).-sin(xy+yz+zx)

                =- ((y+z)2cos(xy+yz+zx) + (x+z)2cos(xy+yz+zx) + (y+x)2cos(xy+yz+zx))

                =-((y+z)2+ (x+z)2 + (x+z)2).cos(xy+yz+zx)

\(\Rightarrow\) cos(xy+yz+zx) không là hàm riêng của toán tử laplace.

c.exp(x2+y2+z2)

\(\bigtriangledown\)f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))exp(x2+y2+z2)                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)exp(x2+y2+z2) +\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)exp(x2+y2+z2)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)2x.exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial}{\partial y}\)2y.exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)2z.exp(x2+y2+z2)                =2.exp(x2+y2+z2) +4x2.exp(x2+y2+z2)+2.exp(x2+y2+z2) +4y2.exp(x2+y2+z2)+2.exp(x2+y2+z2) +4z2.exp(x2+y2+z2)                =(6+4x2+4y2+4z2).exp(x2+y2+z2)\(\Rightarrow\)exp(x2+y2+z2không là hàm riêng của hàm laplace.d.ln(xyz)\(\bigtriangledown\)f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))ln(xyz)                =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)ln(x+y+z)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)yz.\(\frac{1}{xyz}\)\(\frac{\partial}{\partial y}\)xz.\(\frac{1}{xyz}\) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)xy.\(\frac{1}{xyz}\)                =\(\frac{\partial}{\partial x}\)\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)\(\frac{1}{z}\)                = - \(\frac{1}{x^2}\)\(\frac{1}{y^2}\)\(\frac{1}{z^2}\)\(\Rightarrow\) ln(xyz) không là hàm riêng của hàm laplace.  
Trần Tuấn Anh
14 tháng 1 2015 lúc 21:30

đáp án D

Pham Van Tien
15 tháng 1 2015 lúc 23:13

Bạn Hồng gửi lại đáp án, bạn gõ trực tiếp câu trả lời lên web, không gửi dưới dạng ảnh.

đặng xuân hồng
16 tháng 1 2015 lúc 0:42

Đáp án là A, trị riêng a=-3. Công thức toán em paste mãi không được

Nguyễn Văn Linh
17 tháng 1 2015 lúc 17:43

Một hàm \(\Psi\) được coi là một hàm riêng của toán t ử Laplace khi: 

\(\bigtriangledown^2\)\(\Psi\)=C.\(\Psi\) với C là hằng số

Ở câu a, ta có: xét tổng đạo hàm cấp 2 của từng biến của hàm số  \(\Psi\)=sin(x+y+z) ta được hàm số mới \(\varphi\) = -3sin(x+y+z). 

Vậy ta có thể kết luận được \(\Psi\) là 1 hàm riêng của toán tử Laplace với giá trị của trị riêng là -3

Lê Ngọc Quang
18 tháng 1 2015 lúc 22:04

đáp án A. trị riêng là -3

Dương Văn Công
19 tháng 1 2015 lúc 13:38

Toán tử laplace có dạng: \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
.

Phương trình hàm riêng trị riêng A^.=an. ᵠ

Trong đó an: trị riêng, hàm song,A^ toán tử tác động lên hàm ᵠ.

Xét hàm f=exp(x2+y+z2). Tác độg toán tử laplace vào hàm f ta dc: A^.exp(x2+y2+z2)=(6+4.x2+4.y2+4.z2).exp(x2+y2+z2). Suy ra hàm exp(x2+y2+z2) là hàm riêng của toán tử laplace. Và trị rêng tương ứng là 6+4.x2+4.y2+4.z2.

Nguyễn Văn Mạnh
23 tháng 1 2015 lúc 18:05

a) Dặt f(x y z)=sin(x+y+z)

Tác động toán tử lên f suy ra

\(\Delta^2\)f=(\(\frac{d^2}{d^2x}\)+\(\frac{d^2}{d^2y}\)+\(\frac{d^2}{d^2z}\))sin(x+y+z)=\(\frac{d^2}{d^2x}\)sin(x+y+z)+\(\frac{d^2}{d^2y}\)sin(x+y+z)+\(\frac{d^2}{d^2z}\)sin(x+y+z)=\(\frac{d}{dx}\)cos(x+y+z)+\(\frac{d}{dy}\)cos(x+y+z)+\(\frac{d}{dz}\)cos(x+y+z)

      =-sin(x+y+z) - sin(x+y+z) - sin(x+y+z)=-3sin(x+y+z)

Dễ thấy \(\Delta^2\)f=-3f suy ra hàm sin(x+y+z) là hàm riêng của toán tử Laplace với trị riêng là -3.

Kí hiệu toán tử Laplace bị ngược vì ko tìm thấy nên lấy tạm chữ  denta.

Ngô Thị Minh Thúy
29 tháng 1 2015 lúc 12:20

Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính \(\hat{H} \) lên một hàm \(\psi\) bằng chính hàm \(\psi\) đó nhân với tham số E nào đó thì ta gọi \(\psi\)là hàm riêng và E là trị riêng của toán tử \(\hat{H} \) 

                                                                                                     \(\hat{H}\psi=E\psi\)

Ở đây \(\hat{H} \) là toán tử Laplace \(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)

a) \(\psi=sin(x+y+z)\)

\(\nabla^2\psi=(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})sin(x+y+z)\)\(=\frac{\partial^2}{\partial x^2}(sin(x+y+z))+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(sin(x+y+z))+\frac{\partial^2}{\partial z^2}sin(x+y+z)\) 

       \(=\frac{\partial}{\partial x}(cos(x+y+z))+\frac{\partial}{\partial y}(cos(x+y+z))+\frac{\partial}{\partial z}(cos(x+y+z))\)

       \(=-sin(x+y+z)-sin(x+y+z)-sin(x+y+z)=-3sin(x+y+z)\)\(=-3\psi\)

\(\Rightarrow\) Vậy \(\psi\) là hàm riêng và -3 là trị riêng của toán tử Laplace

b,c,d làm tương tự


Các câu hỏi tương tự
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Thường
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết
Pham Van Tien
Xem chi tiết