Câu 44: Cho số phức z thỏa mãn \(\left|\left(1+i\right)z+1-3i\right|=3\sqrt{2}.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|z+2+i\right|+\sqrt{6}\left|z-2-3i\right|\) bằng:
A. \(5\sqrt{6}\) B. \(6\sqrt{5}\) C. \(\sqrt{15}\left(1+\sqrt{6}\right)\) D. \(\sqrt{10}+3\sqrt{15}\)
Câu 45: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) là hàm số bậc hai với đồ thị Parabol có trục đối xứng là trục \(Oy\) và thỏa mãn điều kiện \(\left(x-1\right)^2f\left(x+1\right)=f^2\left(x\right)-2x^2+1.\) Tính giá trị tích phân \(\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right)}{e^x+1}dx\).
A. \(0\) B. \(\dfrac{250}{3}\) C. \(\dfrac{125}{3}\) D. \(\dfrac{110}{3}\)
44.
Đặt \(z=x+yi\)
\(\left|\left(1+i\right)\left(x+yi\right)+1-3i\right|=3\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2\left(x+y-3\right)^2=18\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=9\)
\(P=\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2}+\sqrt{6}.\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=a\\y-2=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a+1\\y=b+2\\a^2+b^2=9\end{matrix}\right.\)
\(P=\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+3\right)^2}+\sqrt{6}.\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+3\right)^2}+\sqrt{2}.\sqrt{3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2}\)
\(\le\sqrt{\left(1+2\right)\left[\left(a+3\right)^2+\left(b+3\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2\right]}\)
\(=\sqrt{3.\left[4\left(a^2+b^2\right)+24\right]}=\sqrt{3.\left(4.9+24\right)}=6\sqrt{5}\)
45.
Do \(f\left(x\right)\) có trục đối xứng là Oy nên \(f\left(x\right)\) là hàm chẵn \(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\)
Xét tích phân: \(I=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right)}{e^x+1}dx\)
Đặt \(x=-t\Rightarrow dx=-dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\Rightarrow t=5\\x=5\Rightarrow t=-5\end{matrix}\right.\)
\(I=\int\limits^{-5}_5\dfrac{f\left(-t\right)}{e^{-t}+1}\left(-dt\right)=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(t\right)}{e^{-t}+1}dt=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(t\right).e^t}{e^t+1}dt=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right).e^x}{e^x+1}dx\)
\(\Rightarrow2I=I+I=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right)}{e^x+1}dx+\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right).e^x}{e^x+1}dx=\int\limits^5_{-5}\dfrac{f\left(x\right).\left(e^x+1\right)}{e^x+1}dx\)
\(=\int\limits^5_{-5}f\left(x\right)dx\)
Do \(f\left(x\right)\) bậc 2 đối xứng qua Oy nên \(f\left(x\right)=ax^2+b\) (1)
Thay \(x=0\) vào giả thiết: \(f\left(1\right)=f^2\left(0\right)+1>0\) (2)
Thay \(x=1\) vào giả thiết: \(0=f^2\left(1\right)-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)=1\\f\left(1\right)=-1< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thế vào (2) \(\Rightarrow f^2\left(0\right)+1=1\Rightarrow f\left(0\right)=0\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.0^2+b=f\left(0\right)=0\\a.1^2+b=f\left(1\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\a=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2}\int\limits^5_{-5}x^2dx=\dfrac{125}{3}\)
