BÀI TOÁN QUỐC TẾ:
Cho \(a_1\);\(a_2\);\(a_3\);....;\(a_7\) là các số nguyên và \(b_1\);\(b_2\);\(b_3\);...;\(b_n\) cũng là các số nguyên đó, nhưng lấy theo thứ tự khác.
Chứng minh rằng \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_2\right)\left(a_3-b_3\right)...\left(a_7-b_7\right)\) là số chẵn
(Thi hs giỏi ANH QUỐC -1968)
Gỉa sử (a1 - b1)(a2 - b2).......(a7 - b7) là số lẻ
=> a1 - b1, a2 - b2,............., a7 - b7 là số lẻ (vì nếu 1 trong các số này là số chẵn thì tích của chúng ko là số lẻ)
Khi đó (a1 - b1) + (a2 - b2) +......... + (a7 - b7) là số lẻ (1)
Mà (a1 - b1) + (a2 - b2) + ......... + (a7 - b7) = (a1 + a2 + ....... + a7) - (b1 + b2 + ....... + b7)
Vì b1, b2,............., b7 là hoán vị của a1, a2,.............., a7
=> Hiệu của chúng bằng 0, mâu thuẫn với (1)
Vậy (a1 - b1) + (a2 - b2) +...... + (a7 - b7) là số chãn
