Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a;a+1;a+2;a+3
=> Tích của 4 số trên là : a(a+1)(a+2)(a+3)
+) Nếu a=0
=> a(a+1)(a+2)(a+3)=0=\(0^2\)(chọn)
+) Nếu \(a\ne0\)
Ta có : a(a+1)(a+2)(a+3)
=[a(a+3)][(a+1)(a+2)]
=(\(a^2+3a\))\(^2\)+2\(\left(a^2+3a\right)+1-1\)
=(\(a^2+3a+1\))\(^2\)-1
Vì \(\left(a^2+3a+1\right)^2-1\) và \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) là 2 số tự nhiên liên tiếp
Mà \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) là số chính phương
=> \(\left(a^2+3a+1\right)^2\) không là số chính phương
Vậy
+) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương với a=0
+) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương với \(a\ne0\)
Gọi 4 số đó là: n, n+1, n+2, n+3
Theo đề ra ta có:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
Nhóm n với n+3; n+1 với n+2 ta có:
\(\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
Đặt \(n^2+3n+1=y\Rightarrow n^2+3n=y-1;n^2+3n+2=y+1\)
Có \(\left(y-1\right)\left(y+1\right)+1\)
\(=y^2-1+1=y^2\) là số chính phương.
=> đpcm
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là \(n, n + 1, n+ 2, n + 3\) \( (n € N)\). Theo đề bài ta có:
\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1\)
\(= (n^2 + 3n)( n^2 + 3n + 2) + 1\) (*)
Đặt \(n^2 + 3n = t (t € N)\) thì (*) \(= t( t + 2 ) + 1 = t^2 + 2t + 1 = ( t + 1 )^2 \)
\(= (n^2 + 3n + 1)^2\)
Vì \(n € N\) nên suy ra: \((n^2 + 3n + 1) € N\)
Vậy \(\text{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1}\) là số chính phương.
Gọi 4 số đó là: n, n+1, n+2, n+3
Theo đề ra ta có:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
Nhóm n với n+3; n+1 với n+2 ta có:
(n2+3n)(n2+3n+2)+1(n2+3n)(n2+3n+2)+1
Đặt n2+3n+1=y⇒n2+3n=y−1;n2+3n+2=y+1n2+3n+1=y⇒n2+3n=y−1;n2+3n+2=y+1
Có (y−1)(y+1)+1(y−1)(y+1)+1
=y2−1+1=y2=y2−1+1=y2 là số chính phương.
Gọi 4 số đó là: n, n+1, n+2, n+3
Theo đề ra ta có:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
Nhóm n với n+3; n+1 với n+2 ta có:
(n2+3n)(n2+3n+2)+1(n2+3n)(n2+3n+2)+1
Đặt n2+3n+1=y⇒n2+3n=y−1;n2+3n+2=y+1n2+3n+1=y⇒n2+3n=y−1;n2+3n+2=y+1
Có (y−1)(y+1)+1(y−1)(y+1)+1
=y2−1+1=y2=y2−1+1=y2 là số chính phương.
Học Tốt Nha!!!
