Bài 1: Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số \(T=4^{27}+4^{1016}+4^a\) là số chính phương
Bài 2: Cho số tự nhiên \(N=2003^{2004}\). Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó \(n_1,n_2,...,n_k.\)\(S=n_1^3+n_2^3+...+n_k^3.\)Tìm số dư của phép chia S cho 6.
Bài 3: CMR: \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Với n là số nguyên dương
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: P = 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương
2. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương bất kì thì:
\(A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1,65\)
3. Tìm tất cả các số tự nhiên không là tổng của 2 hợp số.
4. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : \(\left(x+2003\right)\left(x+2005\right).4^y=3025\)
Bài 1 Cho x,y,z là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}\)
Tính tích P= x.y.z
Bài 2: Chứng minh \(\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \frac{1}{3}\)
Bài 3: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức:
A=\(2\sqrt{x-1}+\sqrt{10-4x}\)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
Bài 5:
Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh \(3^p-2^p-1\)chia hết cho 6p
Bài 6:
Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(m^3+n^3+15mn=125\)
Bài 7:
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho A= \(9n^2+9n-8\) là một số chính phương.
Làm câu nào cũng được, mấy bạn giúp mik vs, tk cho
Đề thi tham khảo chuyên toán vào 10. Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1:
a) Giải phương trình: \(\frac{x^2}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x-1}}\)
b) Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y^2}+2\sqrt{x^2+1}+y^2=3\\x+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}+x}+y^2=0\end{cases}}\)
Câu 2:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương m,n sao cho \(2^n+n=m!\)
b) Cho số tự nhiên \(n\ge2\).Biết rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le\sqrt{\frac{n}{3}}\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên \(k\le n-2\)thì \(k^2+k+n\)là một số nguyên tố.
Câu 3:
a) Cho \(x\le y\le z\)thỏa mã điểu kiện\(xy+yz+zx=k\)với k là một số nguyên dương lớn hơn 1.
Hỏi bất đẳng thức sau đây đúng hay không: \(xy^2z^3< k+1?\)
b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\le1\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
Câu 4: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, A là điểm nằm ngoài đường tròn (O) sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AB cắt đường tròn (O) tại F, AC đường tròn (O) tại E. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, N là trung điểm AH, AH cắt BC tại D, NB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. Gọi K, L lần lượt là giao điểm AH với ME và MC.
a) Chứng minh: E, L, F thẳng hàng
b) Vẽ đường tròn (OQX) cắt OE tại Y với X,I,Q là giao điểm của đường thẳng qua H song song với ME và OF, NF,MC. Trên tia QY lấy điểm T sao cho QT=MK. Kẻ HT cắt NS tại J. Chứng minh tứ giác NJIH nội tiếp.
Câu 5: Cho m và n là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh tồn tại hai số nguyên dương x,y không vượt quá \(\sqrt{m}\) sao cho \(n^2x^2-y^2\)chia hết cho m.
Hết!
Với mọi n là số tự nhiên khác 0, chứng minh biểu thức
\(A_n=n+\left[\sqrt[3]{n-\frac{1}{27}}+\frac{1}{3}\right]^2\)không viết được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương
Bài 1:Tính S= \(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)
Bài 2: Tính S= 1+3+9+27+...+1438907
Bài 3: Cho \(f\left(1\right)=1;f\left(m+n\right)=f\left(m\right)+f\left(n\right)+mn.\)Tính f(10), f(2015) (Với m, n là các số nguyên dương)
Bài 1. cho \(f\left(x\right)=\left(2x^3-21x-29\right)^{2019}\). Tính f(x) tại \(x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}\)
Bài 2. Tìm số tự nhiên n biết rằng: \(\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3}}+\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+3^3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}}=\frac{2015}{2017}\)
Bài 3. Tính \(A=\left(3x^3+8x^2+2\right)\)với \(x=\frac{\sqrt[3]{17\sqrt{5}-38}\left(\sqrt{5}+2\right)}{\sqrt{5}+\sqrt{14-6\sqrt{5}}}\)
Bài 4. CMR: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
Nhìn cái đề bài đáng sợ kinh, ai giúp tớ vs
cho \(S_n=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n-2\)là một số tự nhiên
Tìm số tự nhiên n để Sn là số chính phương
Cho \(a_n=\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)^n+\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^n\)CMR: \(a_n\)là số nguyên với mọi n là số tự nhiên. Tìm dư khi chia số đó cho 5
Tìm số nguyên dương n lớn nhất để bất đẳng thức sau thỏa mãn
\(\frac{1}{\sqrt[n]{\left(na+b+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+nb+c\right)^4}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\left(a+b+nc\right)^4}}\le\frac{3}{16}\)
trong đó a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a+b+c\)
