1, Chứng minh đẳng thức \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
2, Cho tam giác ABC có AM và AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD tại E. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AM tại F. Chứng minh
a. Góc AEC = 90 độ
b. E, F, C thẳng hàng
Cho tam giác ABC (AB<AC) có AD là đường phan giác ,M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với AD cắt các đường thẳng AC vad AB lần lượt tại E và F
a, CM tam giác AEF cân và BF/AF =BM/DM
b,Chứng minh CE=BF
c, Chứng minh \(\frac{2}{AD}>\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
Cho tam giác ABC, P là giao điểm 3 đường phân giác, 1 đường thẳng đi qua P và song song với CP cắt AC, BC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng :
a) \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b) \(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{AP.AC}=1\)
Cho ΔABC có AD là trung tuyến, trọng tâm G. Dường thẳng d qua G cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Qua B, C vẽ các đường thẳng song song với đường thẳng d, cắt AD theo thứ tự tại B' và C'. Chứng minh: \(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3;\frac{BM}{AM}=\frac{CN}{AN}=1\)
Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB//CD). Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt BD ở I. Đường thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở K.
a) Chứng minh IK // DC.
b) Chứng minh: AB2 = IK.DC
Bài 2: Tìm x; y; z biết: \(6\left(x-\frac{1}{y}\right)=3\left(y-\frac{1}{z}\right)=2\left(z-\frac{1}{x}\right)=xyz-\frac{1}{xyz}\)
bài 1.
a) cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: \(a^3+b^3=2\left(c^3-8d^3\right)\). cmr a+b+c+d chia hết cho 3
b) cho biểu thức A= \(\left(\frac{4x}{2+x}+\frac{8x^2}{4-x^2}\right):\left(\frac{x-1}{x^2-2x}-\frac{2}{x}\right)\). Rút gọn A và tìm các giá trị của x để A<0
bài 2. cho tam giác ABC có \(\widehat{A}\)=90 độ và AB<AC. Kẻ đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ là đường thẳng BC vẽ hình vuông AHDE ( D thuộc HC). Gọi F là giao điểm của DE và AC. Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại G.
a) cmr ABGF là hình vuông
b) cm tứ giác DEHG là hình thang
c) Cm 3 đường thẳng AG, BF, HE đồng quy
Cho tam giác ABC. 1 đường thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại D và E.
a) Giả sử cho AB= 5cm; AC= 6cm; AD=3cm. Tính AE?
b) Vẽ đường thẳng qua c song song với AB, cắt DE tại G. Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác CGE.
c) Gọi AC cắt BG tại H. Chứng minh: HC2=HE.HA
d) Kẻ HI song song với AB ( I thuộc AB ). Chứng minh: \(\frac{1}{IH}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CG}\)
1) cho M = \(\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+x^3+\frac{1}{x^3}}\)
cho x > 0 tìm giá trị nhỏ nhất của M
2)cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, gọi I là giao điểm AC và BD. qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N
a) chứng minh IM = IN
b) chứng minh \(\frac{1}{AB}\) + \(\frac{1}{CD}\) = \(\frac{2}{MN}\)
C) gọi K là trung điểm của DC, vẽ đường M song song với AK cắt DC và AC lần lượt tại H và E. chứng minh HM + HE = 2AK
d) cho S(AIB) = a2 (cm), S(DIC) = b2 (cm) . tính S(ABCD) theo a và b
1.Hình thoi ABCD. Điểm M nằm trên đường chéo AC. đường thẳng qua M // AB cắt AD tại E và cắt BC tại G. Đường thẳng qua M // AD cắt AB tại F và cắt DC tại H.
a) tứ giác AEMF,MHCG là hình gì? Vì sao?
b) tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
c) tìm vị trí M trên đường chéo AC để EFGH là hình chữ nhật
d) chứng minh rằng diện tích của EFGH ko đổi khi M di chuyển trên AC
2.a) CMR biểu thức ko âm với mọi x,y,z.
M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2
b) Tính giá trị của biểu thức
E=\(\frac{\left(a-x\right)^2}{a\left(b-a\right)\left(c-a\right)}\) + \(\frac{\left(b-x\right)^2}{b\left(a-b\right)\left(c-b\right)}\) +\(\frac{\left(c-x\right)^2}{c\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\) biết 1-\(\frac{x^2}{abc}\) =0
1) Cho tam giác ABC phân giác AD. Qua D dựng đường thẳng song song với AB đường thẳng này cắt AC tại E. Qua E dựng đường thẳng song song với BC đường thẳng này cắt AB tại F. a) chứng minh AE=AF, b) Xác định hình dạng của tam giác ABC trong trường hợp E là trung điểm AC.
2) Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AH,AB,NB,BC. a) MP=1/2 NC. b) chứng minh BM vuông góc với NQ.
3) cho tam giác ABC, các đường thẳng AP,AQ theo thứ tự vuông góc với phân giác trong và phân giác ngoài góc B. Các đoạn thẳng AR, AS vuông góc phân giác trong và phân giác ngoài góc C. a) chứng minh APBQ, ÁC là hình chữ nhật, b) Q,R,P,S thẳng hàng, c) QS=1/2 (AB+BC+AC)
